LA TOPOLOGIE
Sommaire
Éléments de topologie 11 Espaces métriques
1.1 Boules et sphères
1.2 Diamètre d'une partie, fonctions bornées
1.3 Distance d'un point à une partie
1.4 Distance induite
1.5 Exemples de distances
1.6 Ouverts d'une distance
1.7 Topologie associée à une distance
1.8 Distances équivalentes
1.9 Distances produit
2 Espaces topologiques
2.1 Base d'une topologie
2.2 Exemples de topologies
2.3 Parties fermées
2.4 Voisinages
2.5 Adhérence, intérieur, frontière
2.6 Points isolés, points d'accumululation
2.7 Espaces séparés
2.8 Parties denses, espaces séparables
2.9 Topologie induite
2.10 Exercices
3 Limites et continuité
3.1 Limite et valeur d'adhérence d'une suite
3.2 Suite dans les espaces métriques
3.3 Applications continues
3.4 Continuité de la composée
3.5 Continuité de la restriction
3.6 Prolongement par continuité
3.7 Homéomorphismes .
3.8 Continuité et limite dans les espaces métriques
3
3.9 Applications uniformément continues
4 Topologie produit
4.1 Produit d'espaces métriques
1.1 Boules et sphères
1.2 Diamètre d'une partie, fonctions bornées
1.3 Distance d'un point à une partie
1.4 Distance induite
1.5 Exemples de distances
1.6 Ouverts d'une distance
1.7 Topologie associée à une distance
1.8 Distances équivalentes
1.9 Distances produit
2 Espaces topologiques
2.1 Base d'une topologie
2.2 Exemples de topologies
2.3 Parties fermées
2.4 Voisinages
2.5 Adhérence, intérieur, frontière
2.6 Points isolés, points d'accumululation
2.7 Espaces séparés
2.8 Parties denses, espaces séparables
2.9 Topologie induite
2.10 Exercices
3 Limites et continuité
3.1 Limite et valeur d'adhérence d'une suite
3.2 Suite dans les espaces métriques
3.3 Applications continues
3.4 Continuité de la composée
3.5 Continuité de la restriction
3.6 Prolongement par continuité
3.7 Homéomorphismes .
3.8 Continuité et limite dans les espaces métriques
3
3.9 Applications uniformément continues
4 Topologie produit
4.1 Produit d'espaces métriques
4.2 Produit ni quelconque
4.3 Topologie de Rn
4.4 Exercices
5 Espaces complets
5.1 Espaces complets
5.2 Produit ni d'espaces complets
5.3 Condition de Cauchy
5.4 Prolongement des applications uniformément continues
5.5 Théorème du point xe
5.6 Théorème de Baire
5.7 Exercices
6 Espaces compacts
6.1 Parties compactes
6.2 Compacts et continuité
6.3 Suites et compacts
6.4 Espaces métriques compacts
6.5 Produit ni de compacts
6.6 Compacts de Rn .
6.7 Parties relativement compactes
6.8 Espaces localement compacts
6.9 Exercices
7 Espaces connexes
7.1 Parties connexes
7.2 Produit de connexes
7.3 Composantes connexes
7.4 Connexes par arcs
7.5 Espaces localement connexes
7.6 Exercices 2 Espaces des fonctions continues1 Convergence simple et convergence uniforme
2 Le théorème d'Ascoli
3 Le théorème de Stone Weierstrass 3 Espaces normés 1 Généralités
2 Applications linéaires continues
3 Espaces normés de dimension nie, le théorème de Riesz
4 Applications multilinéaires continues .
5 Le théorème de l'application ouverte
6 Le théorème de Banach Steinhaus
7 Le théorème de Hahn Banach 4 Espaces de Hilbert 911 Généralités
2 Projection et orthogonalité
3 Base hilbertienne
4 L'espace de Hilbert ‘2 N(K)
4.3 Topologie de Rn
4.4 Exercices
5 Espaces complets
5.1 Espaces complets
5.2 Produit ni d'espaces complets
5.3 Condition de Cauchy
5.4 Prolongement des applications uniformément continues
5.5 Théorème du point xe
5.6 Théorème de Baire
5.7 Exercices
6 Espaces compacts
6.1 Parties compactes
6.2 Compacts et continuité
6.3 Suites et compacts
6.4 Espaces métriques compacts
6.5 Produit ni de compacts
6.6 Compacts de Rn .
6.7 Parties relativement compactes
6.8 Espaces localement compacts
6.9 Exercices
7 Espaces connexes
7.1 Parties connexes
7.2 Produit de connexes
7.3 Composantes connexes
7.4 Connexes par arcs
7.5 Espaces localement connexes
7.6 Exercices 2 Espaces des fonctions continues1 Convergence simple et convergence uniforme
2 Le théorème d'Ascoli
3 Le théorème de Stone Weierstrass 3 Espaces normés 1 Généralités
2 Applications linéaires continues
3 Espaces normés de dimension nie, le théorème de Riesz
4 Applications multilinéaires continues .
5 Le théorème de l'application ouverte
6 Le théorème de Banach Steinhaus
7 Le théorème de Hahn Banach 4 Espaces de Hilbert 911 Généralités
2 Projection et orthogonalité
3 Base hilbertienne
4 L'espace de Hilbert ‘2 N(K)
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