Cours de TOPOLOGIE &#39;

TOPOLOGIE

Sommaire

1 Espaces méetriques,
Espaces topologiques. 11.1 Espaces métriques
1.1.1 Définitions
1.1.2 Propriétés de la distance
1.1.3 Boules
1.1.4 Parties bornées, fonctions bornées
1.1.5 Exemples
1.1.6 Distance entre deux parties, diamètre
1.1.7 Norme, espaces vectoriels normés
1.2 Espaces topologiques
1.2.1 Définition, ouverts
1.2.2 Topologie des espaces métriques
1.2.3 Fermés
1.2.4 Exemples d’espaces topologiques
1.2.5 Voisinages
1.2.6 Bases d’ouverts, bases de voisinages
1.2.7 Sous-espaces topologiques
1.3 Adhérence, intérieur, extérieur
1.3.1 Adhérence
1.3.2 Intérieur
1.3.3 Frontière
1.4 Limites
1.4.1 Limite d’une suite
1.4.2 Espace topologique séparé, unicité de la limite
1.4.3 Limite et adhérence
1.4.4 Limite d’une fonction
1.5 Continuité
1.5.1 Continuité en un point
1.5.2 Propriété
1.5.3 Continuité globale
1.5.4 Homéomorphismes
1.5.5 Uniforme continuité et Lipschitz continuité
5
6
1.5.6 Prolongement par continuité
1.5.7 Limite uniforme de fonctions continues
1.6 Comparaison de topologies, comparaison de distances
1.6.1 Topologies plus ou moins fines
1.6.2 Équivalences de distances .
1.7 Topologie produit
1.7.1 Définition
1.7.2 Topologie produit et continuité
1.7.3 Produit d’espaces métriques
1.7.4 Topologie produit et convergence simple
1.8 Topologie quotient 2 Connexité 2.1 Définition, exemple fondamental
2.1.1 Définition
2.1.2 Exemple fondamental : les connexes de R.
2.2 Fonctions continues et connexité
2.3 Union, adhérence et produit
2.3.1 "Union"
2.3.2 Adhérence
2.3.3 Produit
2.4 Connexité par arcs 3 Compacité 3.1 Définitions
3.2 Compacité des espaces métriques
3.3 Propriétés des compacts
3.3.1 Compacts et fermées
3.3.2 Union, intersection, produit
3.4 Fonctions continues et compacts
3.4.1 Image d’un compact
3.4.2 Compact et uniforme continuité
3.5 Espaces localement compacts 4 Espaces vectoriels normées 4.1 Généralités
4.1.1 Définitions
4.1.2 Exemples
4.1.3 Applications linéaires continues
4.1.4 Algèbre normée
4.2 Compacité et conséquences
dans les espaces vectoriels normées
4.2.1 Dimension finie, dim E = n < 1
7
4.2.2 Dimension infinie
4.3 Espace vectoriel normée quotient

5 Espaces métriques complets
5.1 Suites de Cauchy, espaces métriques complets, exemple fondamental

5.1.1 Suites de Cauchy
5.1.2 Espace m´etrique complet
5.1.3 Exemple fondamental
5.1.4 Un autre exemple
5.2 Propriétés des espaces complets
5.2.1 Fermés de complets
5.2.2 Union de complets et complétude des compacts
5.2.3 Produit d’espaces complets
5.3 Espaces de Banach
5.4 Applications de la complétude
5.4.1 Un exemple avec les séries
5.4.2 Prolongement
5.4.3 Point fixe des applications contractantes
5.5 Complété 6 Propriétés des espaces de fonctions continues 6.1 Théorème de Stone-Weierstrass
6.1.1 Enoncé et conséquences
6.1.2 Démonstration du théorème
6.2 Théorème d’Ascoli
6.2.1 Condition nécessaire `a la compacité
6.2.2 Condition nécessaire et suffisante 7 Espaces de Hilbert7.1 Généralités
7.1.1 Espaces pré-hilbertiens
7.1.2 Espaces hilbertiens, Théorème de la projection
7.2 Applications du Théorème de la projection
7.2.1 Sous-espace orthogonal
7.2.2 Théorème de représentation de Riesz
7.2.3 Bases hilbertiennes 8 Exercices 8.1 Espaces métriques. Espaces topologiques
8.2 Connexité
8.3 Compacité
8.4 Espaces vectoriels normés
8.5 Complétude
8
8.6 Propriétés des espaces de fonctions continues
8.7 Espaces de Hilbert