Cours de PROBA MA

PROBABILITÉ

Sommaire

1 Introduction : probabilité sur un espace fini 1.1 Probabilité sur un espace fini, événements
1.1.1 Définitions
1.1.2 Probabilités uniformes
1.2 Probabilité conditionnelle et indépendance
1.2.1 Probabilité conditionnelle
1.2.2 Indépendance
1.3 Exercices
1.4 Résumé2 Variables aléatoires discrètes2.1 Espace de probabilité
2.2 Variables aléatoires discrètes
2.2.1 Rappel sur les manipulations de séries
2.2.2 Définition
2.2.3 Indépendance
2.2.4 Lois discrètes usuelles
2.2.5 Loi marginale
2.3 Espérance et variance
2.3.1 Espérance
2.3.2 Variance
2.4 Fonction génératrice
des variables aléatoires entières
2.5 Loi et espérance conditionnelles

2.6 Exercices
2.7 Résumé 3 Variables aléatoires à densité 3.1 Manipulation d’intégrales multiples
3.1.1 Théorème de Fubini
3.1.2 Changement de variables
3.2 Variables aléatoires réelles `a densité
3.2.1 Définition 

3.2.2 Densités réelles usuelles
3.2.3 Espérance, variance
3.2.4 Fonction de répartition
3.3 Vecteurs aléatoires à densité
3.3.1 Définition
3.3.2 Densité marginale
3.3.3 Changement de variables
3.3.4 Indépendance
3.3.5 Covariance
3.3.6 Loi et espérance conditionnelles
3.4 Lois béta, gamma, du chi 2,de Student et de Fisher
3.5 Exercices
3.6 Résumé4 Simulation4.1 Simulation de variables aléatoires discrètes 

4.1.1 Loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1]
4.1.2 Loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1]

4.1.3 Loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1]
4.1.4 Simulation suivant une loi discrète quelconque
4.2 Simulation de variables aléatoires à densité
4.2.1 Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R
4.2.2 Méthode d’inversion de la fonction de répartition
4.2.3 Méthode polaire pour la loi normale centrée réduite 

4.2.4 Méthode du rejet
4.3 Exercices
4.4 Résumé 

5 Convergence et théorèmes limites 

5.1 Convergence
5.2 Lois des grands nombres
5.2.1 Loi faible des grands nombres
5.2.2 Loi forte des grands nombres
5.3 Fonction caractéristique et convergence en loi .
5.3.1 Fonction caractéristique
5.3.2 Convergence en loi
5.4 Le théorème de la limite centrale
5.4.1 Énoncé et preuve du résultat
5.4.2 Intervalle de confiance dans la méthode de Monte-Carlo
5.5 Exercices 
5.6 Résumé 6 Vecteurs gaussiens 6.1 Définition, construction
6.1.1 Définition
6.1.2 Stabilité du caractère gaussien par transformation linéaire
6.1.3 Construction d’un vecteur gaussien de loi Nn(µ, Λ)
6.2 Propriétés des vecteurs gaussiens
6.2.1 Vecteurs gaussiens et indépendance
6.2.2 Vecteurs gaussiens et convergence en loi
6.3 Exercices
6.4 Résumé 7 Estimation de paramètres 7.1 Modèle paramétrique
7.2 Estimateurs
7.2.1 Définitions
7.2.2 L’Estimateur du Maximum de Vraisemblance
7.2.3 Estimateurs de Moments
7.2.4 Amélioration d’estimateurs
7.3 Intervalles de confiance
7.3.1 Approche non asymptotique
7.3.2 Approche asymptotique
7.4 Exercices
7.5 Résumé 

8 Tests d’hypothèses 8.1 Tests
8.1.1 Définitions
8.1.2 Le cas du modèle gaussien P = {N1(µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0}
8.2 Le test du χ2
8.2.1 Test d’adéquation à une loi
8.2.2 Test d’adéquation à une famille de lois 

8.3 Exercices
8.4 Résumé9 Régression Linéaire 9.1 Estimation
9.2 Test de l’utilité des régresseurs
9.3 Exercices
9.4 Résumé 
10 Corrigés d’exercices et problèmes 10.1 Probabilité sur un espace fini
10.2 Variables aléatoires discrètes
10.3 Variables aléatoires à densité
10.4 Simulation
10.5 Convergence et théorèmes limites
10.6 Vecteurs gaussiens
10.7 Estimateurs
10.8 Tests d’hypothèses
10.9 Régression linéaire 11 Tables statistiques 17111.1 Quantiles de la loi N1(0, 1)
11.2 Fonction de répartition de la loi N1(0, 1)
11.3 Quantiles de la loi du χ2
11.4 Quantiles de la loi de Student
11.5 Quantiles de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) 

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