Introduction au Statistique

Extrait

1 Rappels sur la théorie de la mesureIntroductionIl demeure des choses inconnues à partir des connaissances antérieures en probabilités:
– Q u’es t- ce qu’un événement et l’ensemble de tous les événements?
– Que se passe-t-il pour des probabilités d´événements moins classiques (par exemple l’ensemble de
décimaux )?
– Comment traiter une variable aléatoire qui est continue et discrète à la fois (par exemple le nombre de
minutes passées devant la TV)?1.1 Mesures1 . 1.1 Tribus
Notation. – Ω est un en semble (fini ou infini).
– P (Ω) est l’en semble de tous les sous- ensembles (parties) de Ω.
Rappel. 
Soit E un ensemble. E est dit dénombrable s’il existe une bijection entre EINet ou un sous
ensemble de IN . Par exemple, un ensemble fini, ZZ ×,ZZ ID, ,QZZ sont dénombrables. En revanche, IR n’est
pas dénombrable.
Définition.
Soit une famille F de parties de Ω (donc F ⊂P (Ω)). On dit que F est  une algèbre si:
–Ω ⊂F ;
– lors que A∈F alors (Ω\ A) ∈F ;
– pour tout n∈IN∗, lorsque ( 1A ,··· ,A n) ∈F n alors  A1 ∪ ·· ·∪An ∈F .
Définition.
Soit une famille A de parties de Ω (donc A⊂P (Ω)). On dit que A est une tribu ( ouebre) σ - alg`
sur Ω si:
–Ω ⊂F ;
– lorsque A∈F alors  (Ω\ A) ∈F ;
– pour I ⊂ IN , lors que i ( )i A∈I ∈F I alors i∈I Ai ∈A .
Exemple. – Cas du Pile ou Face.
– Cas o `u Ω est infini : Ω = IN par exemple.
Propriété. Avec les notations précédentes:
1. ∅∈A ;  .....

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